DSE-數學-圓方程-Equations-of-Circles-公式與常考題型攻略

【DSE 數學】Equations of Circles 圓方程全攻略：公式、坐標及常考題型

在 DSE 數學科中，Equations of Circles（圓方程） 是卷一（Long Questions）及卷二（MC）的必爭之地。這課題通常與 Coordinate Geometry（解析幾何） 及 Circle Properties（圓幾何） 結合考核。本文將為你總結圓方程的核心公式、必背考點以及 DSE 實戰技巧。

1. 圓方程的兩大基本形式

要掌握圓方程，首先要分辨 Standard Form（標準式） 及 General Form（一般式）。

A. Standard Form (標準式)

當你知道圓心（Center）及半徑（Radius）時，這是最直接的表達方式：

(x−h)2+(y−k)2=r2(x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2

  • 圓心 (Center): (h,k)(h, k)
  • 半徑 (Radius): rr

小貼士： 考卷中如果見到 (x+3)2 (x + 3)^2，記得 hh 是 -3 而不是 3。小心正負號！

B. General Form (一般式)

這是 DSE 最常出現的形式，通常寫成：

x2+y2+Dx+Ey+F=0x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0

當方程處於這個形式時，你可以透過公式直接搵出圓心及半徑：

圓心 (Center): (−D2,−E2)\left( -\frac{D}{2}, -\frac{E}{2} \right)

半徑 (Radius): (D2)2+(E2)2−F\sqrt{\left(\frac{D}{2}\right)^2 + \left(\frac{E}{2}\right)^2 – F}

2. 圓方程的存在條件 (Condition for a Circle)

並非所有的 x2+y2+Dx+Ey+F=0x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 都能畫出一個圓形。

必須滿足以下條件：

(D2)2+(E2)2−F>0\left(\frac{D}{2}\right)^2 + \left(\frac{E}{2}\right)^2 – F > 0

如果數值等於 0，它只是一個點；如果小於 0，則圓形不存在（虛數半徑）。

3. DSE 常見常考題型

題型一：搵圓方程 (Finding the Equation)

通常會給予兩個點作為 Diameter（直徑） 的端點。

技巧： 用 Mid-point Formula 搵圓心，再用 Distance Formula 搵半徑。

題型二：點與圓的關係 (Point and Circle)

判定一個點 P(x1,y1)P(x_1, y_1) 是在圓內、圓上還是圓外：

將點代入 (x−h)2+(y−k)2(x-h)^2 + (y-k)^2。

  • 結果 <r2⇒< r^2 \Rightarrow 圓內
  • 結果 =r2⇒= r^2 \Rightarrow 圓上
  • 結果 >r2⇒> r^2 \Rightarrow 圓外

題型三：直線與圓的交點 (Line and Circle)

這是卷一後半部分的熱門題目（判別式 Δ\Delta 的應用）：

將直線方程 y=mx+cy = mx + c 代入圓方程。

整理成關於 xx 的二次方程 ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0。

  • Δ>0\Delta > 0：兩個交點（相交）。
  • Δ=0\Delta = 0：一個交點（直線是切線 Tangent）。
  • Δ<0\Delta < 0：沒有交點。

4. DSE 奪星必殺技：與平面幾何結合

很多考生只記得代公式，但 DSE 5** 題目往往要求你聯同 Circle Properties 一起使用：

  • Tangent ⟂\perp Radius：切線與半徑垂直（斜率相乘 m1⋅m2=−1m_1 \cdot m_2 = -1）。
  • Perpendicular Bisector of Chord：弦的中垂線必過圓心。
  • Angle in Semicircle：直徑所對的圓周角是 90∘90^\circ。

總結

Equations of Circles 雖然公式多，但只要理清 Standard Form 和 General Form 的轉換，並熟練運用 Δ\Delta 判別式處理直線與圓的關係，這部分的分數其實非常穩。

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